※当記事は、下記記事からの続きとなります。
【波の解析編】
ＣＯＮＴＥＮＴＳ
昼食の後、僕たちは雑談に花を咲かせていた。
ミア：「ねぇシエル、港に船が止まっているとしたら、どんな船を想像する？
あと、その船には簡単に乗船できる？」
シエルちゃんは面倒くさそうに答える。
シエル：「何その質問？何かの心理テスト？」
僕：「結構有名なやつだよ。
因みに、ミアと僕は全く同じ答えで、簡単に乗り込める、小さい漁船を想像したんだ。」
シエル：「ふ～ん。
海賊船かな…でっかいヤツ。
セキュリティは厳しくはないけど、私が認めない限り乗せることはない。」
ミアは少し表情を曇らせて言う。
ミア：「なるほど…じゃぁ、その船の中に動物が乗っているとしたら、何が乗っている？」
シエル：「次は動物？
うーん、パッと思い浮かぶのはライオンだね！
なんで居るのかはわからないけど...。」
ミア：「じゃぁ答えを言うね。
このテストでわかるのは、
船の大きさは、野心の大きさで、船が大きければ大きいほど野心も大きいです。
船の乗り易さは、その人の心が開放的かどうかを表していて、乗り易いなら開放的で、乗りにくいなら閉鎖的です。
中の動物は人生の満足度を表していて、小さい動物を想像した人は満足度が高く、大型で凶暴な動物を想像した人は爆発寸前です！
シエル...悩みは抱え込まないで相談すると楽になるよ。」
シエルちゃんは僕たちから視線を逸らして言う。
シエル：「2人に相談することなんてないよ！
...ところで、2人はどんな動物を想像したのかな？」
僕：「これも、全く同じで猫だったんだ。
長いこと一緒に居ると、考え方も似るものだね。」
シエル：「そうですか！2人とも今が幸せの絶頂とは、羨ましい限りだよ！」
僕：「ハハハ、そうだね。」
そう...今が幸せの絶頂だ。
だから、僕の進む先にあるのは、もう下り坂だけだ。
シエルちゃんは一瞬だけスマホを光らせて時間を確認する。
シエル：「おっと、休憩はこの辺にして、そろそろ話を進めないか？」
僕：「そうだね。
そういえばシエルちゃん、咳止まったね。
ご飯食べたら風邪の症状が軽くなることってあるけど、それかな？」
シエル：「確かに、今気づいたぞ！
...よし、始めようか！」
文系投資家の修行～三角関数は投資家を救うのか？～【後編】
弧度法
シエル：「よし、始めようか！
これから『波の解析』に重要な正弦波について詳しく見ていくが…
その前に基礎知識として、これから教える２つのことを頭に入れておいてほしい。
一つ目は『弧度法』だ。」
ミア：「コドホウ？」
僕：「そっか、前にこの話をしていたときはミアは熟睡していたね。」
ミア：「・・・」
シエル：「弧度法は意味が理解できないとつまづくことが多い…まさに文系泣かせの表記法だ。
でもルールがわかれば簡単だ。
通常の度数表記では360°と書くものを、弧度法では2πと書く…たったこれだけだ。
つまり、360°＝2π…これより、
あらゆる角度に『360°分の2π』を掛ければ、その角度を弧度法で表すことができる。
たとえば、180°は
180°×2π/360°＝π…となる！
じゃぁミアちゃん、60°を弧度法で表したらどうなる？」
ミア：「360°分の2πを掛ければいいのよね？
え～っと…
わかったよ！
60°は『3分のπ』！」
シエル：「いいねぇ～。
じゃぁ270°は？」
ミア：「これも同じようにして…
270°は『2分の3π』！」
シエル：「エクセレント！
ミアちゃんは並みの高校生より冴えてるよ！」
ミア：「フフッ…楽勝♪」
シエルちゃんはミアをおだてるのが上手いな…。
シエル：「次はミクサの番。
『4分の3π』は何度？」
僕：「2π/360°の逆数を掛ければいいね。
4分の3πは135°のことだね。」
シエル：「よし。２人とも弧度法については理解できたね。
今後は、度数表記をやめて弧度法を使っていくよ。
では基礎知識の二つ目…関数の平行移動だ。
座標平面上に点Ａがある。
点Ａの座標は(ｘ,ｙ)だ。
この点Ａをｘ軸方向に１、ｙ軸方向に１動かしたところを点Ｂとしよう。
この時、点Ａから見た点Ｂの座標は
(ｘ+1,ｙ+1)だが、同時に点Ｂから点Ａを見ると、
点Ａの座標は(ｘ-1,ｙ-1)となる。
関数の平行移動では、点Ｂから見た点Ａのことを考える。
つまり、関数ｙ＝ｘをｘ軸方向にP、ｙ軸方向にq平行移動させた関数は、
y-q＝x-p⇒y＝(x-p)+qとなる。
試しに、二次関数ｙ＝ｘ²をｘ軸方向に1、ｙ軸方向に1動かしてみよう。」
※上図はイメージです。
ミア：「なんとなく、わかるような…わからないような？」
シエル：「基本的に関数のグラフは、式を
『y＝a(x-p)+q』の形に直してから描く。
二次関数の場合も同様に、
という式を
の形に変形させてから描く。
因みにこれは平方完成と呼ばれる手法だが、覚えておいて損はないぞ！」
僕：「平方完成はさておき…
要は、ｘ軸側の符号は逆になるんだね。
やや直感に反するけど…なんとかなりそうだよ。」
シエル：「では、本題に入るとしよう！」
正弦波の変形
シエル：「では、本題に入るとしよう。
これまで、正弦波のことを
『y＝sinｘ』としてきたけど、ここからは
『f(x)＝sinｘ』と改める！
度数表記もやめて弧度法で正弦波を描き直すよ。」
ミア：「うん…ここまではOKだよ。」
シエル：「じゃぁ、このグラフを
ｘ軸方向に-π/2…つまりマイナス90°平行移動させると、このグラフはどうなると思う？」
ミア：「う～んと…
０のところがマイナス２分のπに来るんだよね？
えーと…こんな感じ？」
僕：「すごいなミア！僕はこういうのちょっと苦手だな…。」
シエル：「流石ミアちゃん！理系の素質があるね！」
ミアは少し照れた顔で言う。
ミア：「そうかな～？シエル、夜ご飯も食べて帰る？」
シエル：「ホントか！？ゴチになる！」
『生活費カツカツ』…じゃなかったのか？
シエル：「何度も言うけど、関数のグラフは式を
y＝a(x-p)+qの形に直して描く。
もちろん、これは三角関数も例外ではないよ。
先ほどの、
ｘ軸方向に-π/2動かした三角関数の式を次のように書く。」
シエル：「あと、気付いてるかもしれないけど…
この式のグラフは
余弦派『f(x)＝cosｘ』と同じものだよ。
つまり余弦派も正弦波の一部だったということだね。
僕：「なるほど…他にも、いろいろと変形ができそうだね？」
シエル：「もちろん、これだけじゃないよ♪
次は振り幅を２倍に増幅させてみよう…式は、
『f⒳＝2sinｘ』だ。」
シエル：「最後に周期をイジる。
これまで見てきた正弦波はどれも２πで一周する関数…
つまり周期２πの周期関数だった。
じゃぁ試しに『f⒳＝sinｘ』の周期を２πから半分のπにしてみようか。
式は『f⒳＝sin2ｘ』だ。」
シエル：「まとめるよ！
多くの文系人は正弦波のことを
『y＝sinｘ』の式で認識しているけど…
正弦波の本当の姿はこのような式になる。」
僕・ミア「かっこいい…」
僕は、ミアが同じ言葉を発したことに少し驚いた。
僕：「ミアは、この式のどこがかっこいいと思ったの？」
ミア：「だってこの式、一つも数字が入ってないんだよ！
それに、横一列に並んでいて…すごいシンプルだよね！」
僕：「うん、そうだね！
これを使って波を解析するのか…面白そうだな。」
シエル：「これで満足しちゃだめだよ！
波の解析ではさらにカッコイイ式が登場するからね♪
じゃぁ、正弦波の式を使って、
振り幅が３で周期πの正弦波を、ｘ軸方向にーπ/4だけ平行移動させたグラフを描いてみよう！」
咲いたコスモス、コスモス咲いた。
シエル：「変形させた正弦波を無数に組み合わせていくことで、あらゆる波の形を合成して作り出すことができる。
その波が、どんな波の組み合わせでできているのかを調べるのが波の解析だ！
ただ…そのためには、文系人には少しキツイ試練を乗り越えてもらう必要がある…。
加法定理だ。」
僕：「・・・避けては通れないの？」
シエル：「無理だ。受け入れろ。」
ミア：「加法定理…なんだっけ？」
僕：「いっぱい公式が出てくるやつ。」
シエル：「加法定理は文系人中心に敬遠されることが多い。
だが、そこまで難しく考える必要はないよ。
たった３つの公式さえ知っていれば、三角関数の公式を全て導き出すことができるんだ。
ミアちゃん、sin(90°)はsin(30°+60°)で導けるけど…計算してみてくれる？」
ミア：「sin90°＝1…わざわざ計算しなくてもわかるけど…
sin30°もsin60°も、今日の話で出てきたよね。
え～と…
sin30°は1/2で、sin60°は√3/2だから…
・・・あれ？」
シエル：「そう計算できれば簡単なんだけど、残念なことにそうじゃない。
これを計算できるようにするのが加法定理だよ。
この２つの公式を、
『咲いたコスモス、コスモス咲いた』で丸暗記しろ！」
シエル：「最初は拒絶反応で苦しいだろうが…
数学の基本は『習うより慣れろ』だ！
とりあえず、sin90°をこの公式に当てはめて計算してみようか！」
ミア：「なんでただの足し算がこんな複雑になるのよ…
この式に数字を当てはめればいいのね？」
ミア：「できたけど…これすごい疲れる…。」
僕：「まるでパズルみたいだね。
ところで、(α－β)の場合はどうするのかな？」
シエル：「βをーβに置き換えればいいだけだよ。
図を見てもらえばわかると思うけど…θの値をマイナスにした場合、
y軸に値するsinθの値だけが符号がマイナスになり、cosθの値は変化しない。
つまり、『sin(-β)』は『ーsinβ』となり、『cos(-β)』は『cosβ』となる。」
シエル：「これら加法定理の公式を使えば、さまざまな三角関数の計算公式を導くことができる。
やることは簡単で、これら式を足したり引いたりすればいい。
まずは『sinα・cosβ』を導こう。」
シエル：「次は『cosα・cosβ』だ。」
シエル：「最後は『sin²α』『cos²α』だ。
これには加法定理とは別に、もう一つの公式を使う…覚えているかな？
『sin²α+cos²α＝1』」
シエル：「これで主要な三角関数の公式は概ね出揃ったよ。
まぁ…実際に使う時には、その都度振り返るから安心しろ！」
ミア「はぁ～疲れた…
私そろそろ限界かも。」
僕：「そうだね。
三角関数のフルコース…ミアもよく頑張ったと思うよ。」
シエル：「…まぁ、文系の２人としてはよく持った方だと思うよ。
じゃぁ、ここからの話は覚えなくてもいいから気楽に聞いてくれ。
三角関数の合成についてだ。」
三角関数の合成
シエル：「三角関数の合成は、正弦波と余弦派を組み合わせて、一つの正弦波の式に変換するテクニックだ。
ここで問題なのが、この公式の『ａ・ｂ』がいったい何なのか？ということだ…
これを調べるために先ほどの加法定理を使う。」
シエル：「これを踏まえて直角三角形を描けば、『ａ・ｂ』がどの辺なのかわかるね。」
シエル：「例として、
『√3sinｘ+cosｘ』を合成させてみるね。
公式に当てはめると、
ａ＝√3、ｂ＝1、斜辺が２だよ。」
シエル：「ここまでわかれば合成は簡単だ。
合成された正弦波を見てみよう。」
シエル：「このように、正弦波と余弦派を合成させると、
振り幅が|√a²+√b²|で、スタート位置(←これを位相と言う)がαだけずれた正弦波を作り出すことができる。
最後に、複数の正弦波を合成させて、複雑な波の形を作ってみるよ。」
ミア：「なんだか正弦波ってクネクネしててかわいいね♡」
シエル：「おっ！ミアちゃん、いいこと言うね～♪
今日の授業はこれでおしまいだよ。」
この旅の終着点
僕：「ねぇシエルちゃん…そろそろ、『僕たちがどこを目指して進んでいるのか？』教えてくれないかな？
目的地が見えないまま、文系人が数学の勉強をやり続けるのは、正直キツイから…。」
シエルちゃんは少し間を開けてから口を開いた。
シエル：「・・・確かにそうだな。
波の解析について、私の目標は、ミクサがこの数式を理解することだ。」
意外とシンプルな数式だな…でも、ほとんど意味がわからない。
まずは最初の総和記号の下にある『-∞』だ。∞にマイナスもプラスもないだろ！？
最後尾はオイラーの公式かな？
でも、分数の意味がわからない…。
そして最も謎なのが…
ミア：「シエル…真ん中にある『Cn』って見たことないけど、何なの？」
僕：「！？」
シエルちゃんは満足そうな笑みを浮かべて言う。
シエル：「２人とも、ちゃんと数式を読もうとしたね。感心感心♪
実は、この式は長くて複雑で美しくないから、『Cn』という記号で数式を折り畳んでいるんだよ。
『数列のa₁.a₂.a₃...an』みたいなものだよ。
じゃぁ、『Cn』を展開するよ。」
僕：「ハハハ、ガチなやつだ！」
シエル：「これは複素フーリエ級数と言って、波の解析における基本公式の一つだ。
数学者たちがこの式を追究し続けたからこそ、人類のテクノロジーはここまで進歩してきた。
投資家がこれを学ぶべき理由は２つある…
一つは、言うまでもなくチャート分析に応用可能だからだ。
多くの人とは違う視点で分析できれば、価格変動の隠されたシグナルを見つけ出せるかもしれない。
そして重要なのが二つ目の理由だ。
この式を理解するためには、三角関数を始め、シグマの計算、微分・積分、指数・対数、複素数の基礎知識が必要だが…
おそらく、全人類の50％以上が、これら知識を理解しないまま一生を終える。
つまり、この式が理解できれば、50％以上の人間を数学知識で出し抜けるということだ！」
僕：「"投資の利益は、自分以上の愚か者を何人増やせるかによって決まる"…か。
確かに、闇雲に数学を勉強するよりも、これを理解した方が早そうだね。」
ミア：「あの…私も、このまま付き合おうかな…
もう、頭のいい人に利用されるのはイヤだから。」
シエル：「決まりだね。
では、今後の目標を『複素フーリエ級数を理解する』ことに定める！
そして次は、文系殺し四天王が一人、微積分を攻略する！」
ミア：「高校時代の恨みを晴らさせてもらわないとね！」
僕：「ミア…僕たちは文系で、そもそも高校時代に微積分を習ってないから、恨みは無いはずだよ。」
ミア：「え…そうなの！？」
人生、山あり谷ありだ。
良い事があれば、悪い事もある…
会社の経営が"本格的に"傾き始めたのは３年前からだ。
正直、この先どうなるかなんてわからないけど、『倒産』の二文字が脳裏をよぎる。
『終身雇用』が都市伝説だったことを知り、
『一流企業の従業員』という僕のアイデンティティは完全に砕かれた。(恥ずかしながら本当にそう思ってた…)
このことはまだ、ミアには言えてない…。
僕に残された時間は、あとどのくらいだろうか？
早く、計画を進めなくては…脱社畜計画を。
参考書籍
文系編集者がわかるまで書き直した 沁みる「フーリエ級数・フーリエ変換」
東大の先生! 文系の私に超わかりやすく高校の数学を教えてください!
東大の先生！ 文系の私に超わかりやすく数学を教えてください！
